Приветствуем читателей и посетителей нашего сайта! Сегодня на learnpascal.ru открывается новая рубрика — Алгоритмы. В этой рубрике мы с вами будем разбирать различные алгоритмы, а также их реализацию на Паскале.
Для освоения материала сегодняшнего урока вам понадобится знание циклов и ветвлений.
Сегодня мы рассмотрим три алгоритма(из пяти) на нахождение наибольшего общего делителя двух целых чисел, два из которых непосредственно связывают с именем Евклида. Еще два мы рассмотрим в следующей части.
Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел a и b — наибольшее целое число, которое делит их оба.
Пример: НОД(25, 5) = 5; НОД(12, 18) = 6.
Переборный алгоритм
Начинаем перебор с d — наименьшего из двух чисел. Это первый, очевидный кандидат на роль их наибольшего общего делителя. А затем, пока d не делит оба числа, уменьшаем его на единицу. Как только такое деление будет обеспечено, останавливаем уменьшение d.
var a, b, d: integer; begin write('Введите два числа: '); readln(a, b); if a < b then d := a + 1 else d := b + 1; {так как мы используем цикл с постусловием, необходимо минимальное значение увеличить на один, иначе цикл repeat, в силу своих конструктивных особенностей, не учтет это минимальное число и не сделает его кандидатом в НОД. Например, 5 и 25.} repeat d := d - 1 until (a mod d = 0) and (b mod d = 0); write('NOD = ', d) end.
Обратимся к этой программе, например, с числами 30 и 18. Тогда на пути к ответу(числу 6) ей придется перебрать числа: 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6.
Алгоритм Евклида «с вычитанием»
Пусть a и b — целые числа, тогда верны следующие утверждения:
- Все общие делители пары a и b являются также общими делителями пары a — b, b;
- И наоборот, все общие делители пары a — b и b являются также общими делителями пары a и b;
- НОД(A, B) = НОД(A — B, B), если A > B;
- НОД(A, 0) = A.
Доказательство:
- Если t — произвольный общий делитель a и b, то он делит и разность a — b. Действительно, из a = t * u и b = t * v следует, что a — b = t * u — t * v = t * (u — v). То есть t — также общий делитель а — b и b.
- Обратно, если t — произвольный делитель общий делитель a — b и b, то он делит и их сумму a — b + b = a. Это можно доказать аналгично предыдущему. Поэтому t — также общий делитель a и b.
- Делаем вывод, что множество общих делителей a и b совпадает с множеством делителей a — b и b. В частности, совпадают и наибольшие общие делители этих пар.
- Наибольшее целое, на которое делится число a, есть само число а. Число 0 делится на любое число. Отсюда наибольший общий делитель а и 0 равен а.
Доказанная формула(3) позволяет свести вычисление наибольшего делителя одной пары к вычислению наибольшего общего делителя другой пары, в которой числа уже меньше. Очевидная же формула (4) дает нам понять, когда надо остановиться.
Вкратце алгоритм Евклида «с вычитанием» будет таким. Вычитаем из большего числа меньшее и заменяем большее на разность до тех пор, пока одно из чисел не обратится в нуль. Тогда оставшееся ненулевое число — наибольший общий делитель.
Пример. Пусть а = 82 и b = 60. НОД(82, 60) = НОД(22, 60) = НОД(22, 38) = НОД(22, 16) = НОД(6, 16) = НОД(6, 10) = НОД(6, 4) = НОД(2, 4) = НОД(2, 2) = НОД(2, 0) = 2.
На предпоследнем шаге алгоритма, перед появлением 0, оба числа равны, иначе не мог возникнуть 0. Поэтому мы будем извлекать НОД именно в этот момент.
Блок — схема алгоритма Евклида «с вычитанием»
Программа
var a, b: integer; begin write('a = '); readln(a); write('b = '); readln(b); while a <> b do if a > b then a := a - b else b := b - a; writeln('NOD = ', a); end.
Алгоритм Евклида с «делением»
Пусть a и b — целые числа, а r — остаток от деления a на b. Тогда НОД(a, b) = НОД(b, r).
Эта формула также позволяет свести вычисление наибольшего общего делителя одной пары чисел к вычислению наибольшего обшего делителя другой пары чисел.
Пример. НОД(82, 60) = НОД(22, 60) = НОД(22, 16) = НОД(6, 16) = НОД(6, 4) = НОД(2, 4) = НОД(0, 2) = 2.
var a, b: integer; begin write('a = '); readln(a); write('b = '); readln(b); while (a <> 0) and (b <> 0) do if a >= b then a := a mod b else b := b mod a; write(a + b) end.
На сегодня все! Еще несколько модификаций алгоритма Евклида и способов нахождения НОД вы узнаете на следующих уроках.
ура
Спасибо!
всё понятно
Здравствуйте!
Меня зовут Дмитрий (Инстаграм: kupratsevich_dima). Я ищу хорошие сайты для покупки и дальнейшего развития.
Понравился ваш проект learnpascal.ru. Прямо сейчас рассматриваю его к приобретению.
Предварительно предлагаю 16000 рублей. Цена может быть пересмотрена в большую сторону.
Если вам это интересно, то можем обсудить.
Почта: kuprdimasites@gmail.com
Телефон (whatsapp): +79959176538
Telegram: kupratsevich